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第695章 伊卡洛斯一飞冲天数理内容较多慎入（第2页）

至于超巨大基数到底有多么巨大，这便又是一个较为复杂的问题了。

首先，其与超紧致基数之间，就存在有诸多庞大的高阶大基数。

譬如，毗邻超紧致基数“比较近”的一个大基数，即是可扩展基数。

这一大基数的根本定义和数理结构，则是……若一个基数δ被称为可扩展的，那么它对于每个λ＞δ，都将存在一个ε＜λ的初始段Vλ，以及一个从Vλ到Vε的元素嵌入映射π，继而满足π（δ）=δ且π不是恒等映射这一结果。

这一数理定义用大白话来讲，便是意味着可扩展基数能够“伸展”到比它自身更小的宇宙模型当中，同时又保持一定的自身结构特性。

非常神奇。

另外，所谓的“可扩展性”，恰恰就是“强紧凑性”的二阶类比。

同时，除却可扩展基数以外。

超巨大基数之下还赫然存在着巨大基数、殆巨大基数，以及沃彭卡原理。

所谓沃彭卡原理，即是与集合论、范畴论、模型论密切相关的一种重要数学原理。

其主要内容简单概括起来，即是对于一些语言的任意真类结构，都存在一个初等嵌入，可以嵌入至另一个真类结构内的成员中。

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因此，通过这一原理可以导出一系列关于真类结构与初等嵌入的性质。

这些性质，又会关系到不可达基数和它们在模型理论当中的种种应用。

接着莅立于沃彭卡原理之上的，便是殆巨大基数。

理论上来讲，若一个基数κ为殆巨大基数，那么对于任何的正则基数λ＞κ，就都会存在一个λ-完全的超滤子U在Pκ（λ）上，继而使得对于任何X?Pκ（λ）。

同时，若X在U中是成立的，那么亦会存在一个函数f:λ→κ，继而使得对于任何α<λ，X中都会存在Y，进而使得Y∩Xα=?，并且f“Y?Xα。

可以说，这种殆巨大基数的性质之强大，甚至可以让其能够推出并证明，像是可测基数、强基数、超紧基数等等诸多“更小”大基数的性质与一致性强度。

而位于殆巨大基数之上，与超巨大基数之下的巨大基数，其数理本质则是……V中存在的一个初等嵌入j:V→M从V到一个具有临界点K的可传递内模型。

这其中所提到的“初等嵌入”概念，简单来说，便是定义在两个集合论域间的一种映射。

或者说，初等嵌入即是一种能够保持集合结构的函数，它不仅保持元素之间的关系，还会保持逻辑形式的关系。

举例说明，给定两个集合M和N，若存在一个映射j：M→N，使得对于任意M中的公式φ和参数a，M中φ[a]成立当且仅当N中φ[j（a）]成立，那么便可称j是一个从M到N的初等嵌入。

至于巨大基数的数理结构，便是假若α是一个极限序数，使得α＞0，那么便可以说一个不可数的正则基数κ是α-巨大的。

同时，若存在一个基数〈κ?:β＜α〉这样的递增序列，那么对于所有的β＜α即是Vκ??Vκ。

随后，如果n＞1，以及〈β?:i＜n〉是一个小于α的序数的递增序列，那么β?≠0，这对于所有的β'＜β?，就都存在一个初等嵌入j:Vκ?????Vκ????，和临界点κ?'与j（κ?'）=κ??与j（κ??）=κ????。

尔后，若0≤I<n–2，且β?=0，则对于所有I，都会存在一个具有临界点κ'<κ?和j（κ'）=κ?和j（κ??）=κ????的初等嵌入j:Vκ?????Vκ????，进而使得0≤I<n–2。

在此，便终于可引入超巨大基数概念了——

即，若一个基数κ是κ-巨大的，就可称其为超巨大基数。

更进一步说，一个基数k被称为超巨大，如果存在一个从Vk到Vk的初等嵌入，那么其中Vk就是所有秩小于或等于k的集合所组成的巨大逻辑模型。

而超巨、巨大、殆巨三者的关系，则便是——若κ是巨大基数，就存在一个位于κ上的正规超滤子U，使得{α<κ|α-殆巨大基数}∈U；若κ是超巨大基数，则κ便是可扩展基数，并且存在一个κ上的正规超滤子U，使得{α<κ|α-可扩展基数}∈U；若κ是2-巨大基数，即会存在一个κ上的正规超滤子U，使得{α<κ|Vκ|=α-超大基数}∈U。

与此同时，在到达了巨大基数以及超巨大基数的层面后，亦会与名为I3、I2、I1与I0的这几个公理产生密切关联。

所谓公理I3，便是：存在Vλ到自身的非平凡基本嵌入；

至于公理I2，是：V存在一个非平凡基本嵌入到包含Vλ的传递类M，λ为临界点上方的第一个不动点；

公理I1，则是：Vλ+1到自身的非平凡基本嵌入；