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希尔伯特二十三个问题当中的第一问,连续统基数问题。
连续统问题,即“在可数集基数和实数集基数之间没有别的基数”的问题。
所谓“基数”,便是指集合的“绝对测度”。一个集合里面有一个元素,那么这个集合的基数性就是一,有两个元素,基数性就是二。以此类推。
而“所有整数所有实数”这种无限可数集合,其基数性,就记做“阿列夫零”神州称之为“道元零数”,最小的无限整数。
神州的古人曾经认为,数字的总数、无限的大就是道的数字。
阿列夫零加一还是阿列夫零。阿列夫零加阿列夫零还是阿列夫零。阿列夫零乘以阿列夫零还是阿列夫零。
无限大、正无穷。普通的操作方式对于这个数字完全没有意义。
那么,世界上还有比这个无限大的数字更大的数码?
实际上是有的。
那就是“幂集”的基数。
如果一个集合有“1”这一个元素,那么它的幂集就有两个“1”还有空集?。
如果一个集合有“1,2”两个元素,那么它就有四个幂集空集?,集合,集合,集合。
以此类推,当一个集合有三个元素,那么它就有八个幂集。当集合元素增加道了四个的时候,幂集就增加到了十六个。
一个集合的幂集,永远比这个集合的元素要多。如果一个集合有n个元素,那么它就有2的n次方个幂集。
无限可数集合的幂集,二的阿列夫零次方,就是人类发现的第二个无限大的数字阿列夫一。
而连续统问题,也可以概括为“阿列夫零和阿列夫一之间,究竟存不存在另一个基数?”。
有没有一个集合的基数,明确的大于一个无限大,小于另一个无限大?
这就是二十三问当中的第一问。
二十三问当中。第二问、第十问是关系到算学根基的,被认为是极端重要的。也正是因为算主那“完备性、一致性、可判定性”的思想,所以这两问素来被相提并论。但从“提问者”的思路来说,第一问和第二问的关系。反而更为紧密。第一问和第二问,连续统和完备性,根基上是相连的。
第一问的问题引导出了第二问的问题,第二问的解答启发了第十问的解答。
这几个问题,可以看做是一个体系。
当然。希门二十三问当中的每一问,都或多或少的与其他二十三当中的问题相关联,整个二十三问,隐隐是一个整体。而这一个整体,涵盖的算学的几乎每一个方面,一题解出,算学整体就会展现出一个巨大的进步。而每一个算家的研究,或多或少都与二十三问当中的某一问相关。
从来就没有算家能够做到这一点,从前没有,以后也不大可能会有。对于算学的历史来说。二十三问是一个及其壮阔的飞跃。
而王崎也正是看中了这一点。他已经解决了第二问、第十问。现在抛出第一问的解,实际上也不是什么特别惊世骇俗的事情。
另外,连续统假设和完备性证明、可判定性证明差不多,都是那种拥有极端重要地位,但是本身相对独立的那一种。它们就像是一片多米诺骨牌的第一块,本身并不如何,但只要倒下就会引发连锁反应。
想要解决这些问题,没并不需要多么深厚的积累。这些都问题都很偏重“巧思”。
在地球,第二问、第十问的解答者都是相当年轻的天才学者。而第一问的解答者,甚至严格上来说并不懂得数学逻辑p。j。科恩的专业领域是分析。他只不过是被这一个问题所吸引了,仅此而已。
第一问的解答者p。j。科恩本人甚至不能理解自己发明的证明法在逻辑领域的应用。
也就是说,这一项成果,同样可以推到“天才灵感的闪现”当中去。
不过。最大的问题是……
“我上辈子好像没有特别去将这个玩意背下来啊……”王崎又觉得有些头疼了。
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